Cum să graficați o ecuație pătratică: 10 pași (cu imagini)

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-02-02 02:08

Când este reprezentată grafic, ecuațiile pătratice ale formei topor² + bx + c sau a (x - h)² + k dați o curbă netedă în formă de U sau o curbă inversă în formă de U numită parabolă. Graficarea unei ecuații pătratice este o problemă de a găsi vârful, direcția și, adesea, interceptările sale x și y. În caz de ecuații pătratice relativ simple, poate fi, de asemenea, suficient să conectați o gamă de valori x și să trasați o curbă pe baza punctelor rezultate. Consultați Pasul 1 de mai jos pentru a începe.

Pași

Pasul 1. Determinați ce formă de ecuație pătratică aveți

Ecuația pătratică poate fi scrisă în trei forme diferite: forma standard, forma vârfului și forma pătratică. Puteți utiliza ambele forme pentru a grafica o ecuație pătratică; procesul pentru graficarea fiecăruia este ușor diferit. Dacă faceți o problemă cu temele, de obicei veți primi problema într-una din aceste două forme - cu alte cuvinte, nu veți putea alege, deci este mai bine să le înțelegeți pe amândouă. Cele două forme de ecuație pătratică sunt:

• Forma standard.

  În această formă, ecuația pătratică este scrisă ca: f (x) = ax² + bx + c unde a, b și c sunt numere reale și a nu este egal cu zero.

  De exemplu, două ecuații pătratice de formă standard sunt f (x) = x² + 2x + 1 și f (x) = 9x² + 10x -8.

• Formă de vârf.

  În această formă, ecuația pătratică este scrisă astfel: f (x) = a (x - h)² + k unde a, h și k sunt numere reale și a nu este egal cu zero. Forma de vârf se numește astfel deoarece h și k vă oferă în mod direct vârful (punctul central) al parabolei dvs. în punctul (h, k).

  Două ecuații de vârf sunt f (x) = 9 (x - 4)² + 18 și -3 (x - 5)² + 1

• Pentru a grafica oricare dintre aceste tipuri de ecuații, trebuie să găsim mai întâi vârful parabolei, care este punctul central (h, k) la „vârful” curbei. Coordonatele vârfului în formă standard sunt date de: h = -b / 2a și k = f (h), în timp ce în formă de vârf, h și k sunt specificate în ecuație.

Pasul 2. Definiți variabilele

Pentru a putea rezolva o problemă pătratică, variabilele a, b și c (sau a, h și k) trebuie de obicei definite. O problemă medie de algebră vă va oferi o ecuație pătratică cu variabilele completate, de obicei sub formă standard, dar uneori sub formă de vârf.

• De exemplu, pentru forma standard ecuația f (x) = 2x² + 16x + 39, avem a = 2, b = 16 și c = 39.
• Pentru vertex formați ecuația f (x) = 4 (x - 5)² + 12, avem a = 4, h = 5 și k = 12.

Pasul 3. Calculați h

În ecuațiile de formă de vârf, valoarea dvs. pentru h este deja dată, dar în ecuațiile de formă standard, trebuie calculată. Amintiți-vă că, pentru ecuațiile de formă standard, h = -b / 2a.

• În exemplul nostru de formă standard (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Rezolvând, constatăm că h = - 4.
• În exemplul nostru de vârf (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), știm h = 5 fără a face nicio matematică.

Pasul 4. Calculați k

Ca și în cazul h, k este deja cunoscut în ecuațiile de formă de vârf. Pentru ecuațiile de formă standard, amintiți-vă că k = f (h). Cu alte cuvinte, puteți găsi k înlocuind fiecare instanță a lui x din ecuația dvs. cu valoarea pe care tocmai ați găsit-o pentru h.

• Am stabilit în exemplul nostru de formă standard că h = -4. Pentru a găsi k, ne rezolvăm ecuația cu valoarea noastră pentru h înlocuind x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Pasul 7.

• În exemplul nostru de formă de vârf, din nou, cunoaștem valoarea lui k (care este 12) fără a fi nevoie să facem matematică.

Pasul 5. Complotează-ți vârful

Vârful parabolei dvs. va fi punctul (h, k) - h specifică coordonata x, în timp ce k specifică coordonata y. Vârful este punctul central al parabolei dvs. - fie chiar partea de jos a unui „U”, fie chiar partea de sus a unui „U” invers. Cunoașterea vârfului este o parte esențială a graficării unei parabole exacte - adesea, în sarcinile școlare, specificarea vârfului va fi o parte necesară a unei întrebări.

• În exemplul nostru de formă standard, vârful nostru va fi la (-4, 7). Deci, parabola noastră va atinge maxim 4 spații la stânga de 0 și 7 spații deasupra (0, 0). Ar trebui să trasăm acest punct pe graficul nostru, fiind siguri că etichetăm coordonatele.
• În exemplul nostru de formă de vârf, vârful nostru este la (5, 12). Ar trebui să trasăm un punct 5 spații la dreapta și 12 spații deasupra (0, 0).

Pasul 6. Desenați axa parabolei (opțional)

Axa de simetrie a unei parabole este linia care trece prin mijlocul ei, care o împarte perfect în jumătate. Peste această axă, partea stângă a parabolei va oglindi partea dreaptă. Pentru cvadratici de forma toporului² + bx + c sau a (x - h)² + k, axa este o linie paralelă cu axa y (cu alte cuvinte, perfect verticală) și care trece prin vârf.

În cazul exemplului nostru de formă standard, axa este o linie paralelă cu axa y și care trece prin punctul (-4, 7). Deși nu face parte din parabolă în sine, marcarea ușoară a acestei linii pe graficul dvs. vă poate ajuta în cele din urmă să vedeți cum se curbează parabola simetric

Pasul 7. Găsiți direcția de deschidere

După ce am descoperit vârful și axa parabolei, trebuie să știm dacă parabola se deschide în sus sau în jos. Din fericire, acest lucru este ușor. Dacă „a” este pozitiv, parabola se va deschide în sus, în timp ce dacă „a” este negativă, parabola se va deschide în jos (adică va fi răsturnată).

• Pentru exemplul nostru de formular standard (f (x) = 2x² + 16x + 39), știm că avem o parabolă care se deschide în sus, deoarece, în ecuația noastră, a = 2 (pozitiv).
• Pentru exemplul nostru de formă de vârf (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), știm că avem și o parabolă care se deschide în sus deoarece a = 4 (pozitiv).

Pasul 8. Dacă este necesar, găsiți și trasați interceptările x

Adesea, la lucrările școlare, vi se va cere să găsiți interceptările x ale unei parabole (care sunt fie unul, fie două puncte în care parabola îndeplinește axa x). Chiar dacă nu le găsiți, aceste două puncte pot fi neprețuite pentru a desena o parabolă precisă. Cu toate acestea, nu toate parabolele au interceptări x. Dacă parabola dvs. are un vârf se deschide în sus și are un vârf deasupra axei x sau dacă se deschide în jos și are un vârf sub axa x, nu va avea x interceptări. În caz contrar, rezolvați interceptările dvs. x cu una dintre următoarele metode:

• Pur și simplu setați f (x) = 0 și rezolvați ecuația. Această metodă poate funcționa pentru ecuații pătratice simple, în special sub formă de vârf, dar se va dovedi extrem de dificilă pentru cele mai complicate. Vedeți mai jos un exemplu

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 și 13 sunt interceptările x ale parabolei.

• Luați în calcul ecuația dvs. Unele ecuații în topor² Forma + bx + c poate fi ușor inclusă în forma (dx + e) (fx + g), unde dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx și e × g = c. În acest caz, interceptările dvs. x sunt valorile pentru x care fac oricare dintre termeni între paranteze = 0. De exemplu:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • În acest caz, singura dvs. interceptare x este -1, deoarece setarea x egală cu -1 va face ca oricare dintre termenii factorizați între paranteze să fie egal cu 0.

• Folosiți formula pătratică. Dacă nu puteți rezolva cu ușurință pentru interceptările dvs. x sau pentru a calcula ecuația, utilizați o ecuație specială numită formula pătratică concepută în acest scop. Dacă nu este deja, introduceți ecuația în toporul de formă² + bx + c, apoi conectați a, b și c la formula x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac)) / 2a. Rețineți că acest lucru vă oferă adesea două răspunsuri pentru x, ceea ce este OK - aceasta înseamnă doar că parabola dvs. are două interceptări x. Vedeți mai jos un exemplu:

  • -5x² + 1x + 10 se introduce în formula pătratică după cum urmează:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
  • x = (13,18 / -10) și (-15,18 / -10). Interceptările parabolei x sunt la aproximativ x = - 1.318 și 1.518
  • Exemplul nostru anterior de formular standard, 2x² + 16x + 39 se introduce în formula pătratică după cum urmează:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
  • Deoarece găsirea rădăcinii pătrate a unui număr negativ este imposibilă, știm asta nu interceptează x există pentru această parabolă anume.

Pasul 9. Dacă este necesar, găsiți și trageți interceptarea y

Deși adesea nu este necesar să găsiți interceptarea y a unei ecuații (punctul în care parabola trece prin axa y), este posibil să vi se solicite, mai ales dacă sunteți la școală. Acest proces este destul de ușor - setați doar x = 0, apoi rezolvați ecuația pentru f (x) sau y, care vă oferă valoarea y la care parabola trece prin axa y. Spre deosebire de interceptările x, parabolele standard pot avea doar o interceptare y. Notă - pentru ecuațiile de formă standard, interceptarea y este la y = c.

• De exemplu, știm ecuația noastră pătratică 2x² + 16x + 39 are o interceptare y la y = 39, dar poate fi găsită și după cum urmează:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Intercepția y a parabolei este la y = 39.

    După cum sa menționat mai sus, interceptarea y este la y = c.

• Vârful nostru formează ecuația 4 (x - 5)² + 12 are o interceptare y care poate fi găsită după cum urmează:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Intercepția y a parabolei este la y = 112.

Pasul 10. Dacă este necesar, trasați puncte suplimentare, apoi grafic

Ar trebui să aveți acum un vârf, o direcție, o interceptare (x) și, eventual, o interceptare y pentru ecuația dvs. În acest moment, puteți încerca fie să vă desenați parabola folosind punctele pe care le aveți ca orientare, fie puteți găsi mai multe puncte pentru a vă „completa” parabola, astfel încât curba pe care o desenați să fie mai precisă. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este pur și simplu să conectați câteva valori x pe ambele părți ale vârfului, apoi să trasați aceste puncte folosind valorile y pe care le obțineți. Deseori, profesorii vă vor cere să obțineți un anumit număr de puncte înainte de a vă trage parabola.

• Să revedem ecuația x² + 2x + 1. Știm deja că singura sa interceptare x este la x = -1. Deoarece atinge interceptarea x la un moment dat, putem deduce că vârful său este interceptarea x, ceea ce înseamnă că vârful său este (-1, 0). De fapt, avem doar un punct pentru această parabolă - nu suficient pentru a desena o parabolă bună. Să găsim încă câteva pentru a ne asigura că desenăm un grafic precis.

  • Să găsim valorile y pentru următoarele valori x: 0, 1, -2 și -3.
  • Pentru 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Punctul nostru este (0, 1).

  • Pentru 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Punctul nostru este (1, 4).

  • Pentru -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Punctul nostru este (-2, 1).

  • Pentru -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Punctul nostru este (-3, 4).

  • Trasați aceste puncte pe grafic și desenați curba în formă de U. Rețineți că parabola este perfect simetrică - atunci când punctele dvs. de pe o parte a parabolei se află pe numere întregi, puteți, de obicei, să vă salvați niște lucrări reflectând pur și simplu un punct dat pe axa de simetrie a parabolei pentru a găsi punctul corespunzător pe cealaltă parte. a parabolei.

Video - Prin utilizarea acestui serviciu, unele informații pot fi partajate cu YouTube

sfaturi

• Rețineți că în f (x) = ax² + bx + c, dacă b sau c este egal cu zero, aceste numere dispar. De exemplu, 12x² + 0x + 6 devine 12x² + 6 deoarece 0x este 0.
• Rotunjește numerele sau folosește fracțiile așa cum ți-a spus profesorul tău de algebră. Acest lucru vă va ajuta să graficați corect ecuațiile pătratice.